【題目】如圖,拋物線x軸交于A,B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).與y軸交于點(diǎn)C03).

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)Px軸下方的拋物線上,過點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F,求PE+EF的最大值;

3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).

①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

②若△BCD是銳角三角形,求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】1;(2;(3)①D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)或(2,﹣1);②點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為y5或﹣1y

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

2)易得BC的解析式為y=x+3,先證明ECF為等腰直角三角形,作PHy軸于H,PGy軸交BCG,如圖1,則EPG為等腰直角三角形,PE=PG,設(shè)Ptt24t+3)(1t3),則Gtt+3),接著利用t表示PFPE,所以PE+EF=2PE+PF= ,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;

3如圖2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,設(shè)D2,y),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到BC2=18,DC2=4+y﹣32BD2=1+y2,討論:當(dāng)BCD是以BC為直角邊,BD為斜邊的直角三角形時(shí),18+4+y﹣32=1+y2;當(dāng)BCD是以BC為直角邊,CD為斜邊的直角三角形時(shí),4+y﹣32=1+y2+18,分別解方程求出t即可得到對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo);

由于BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+y﹣32+1+y2=18,解出y的值,得到此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo),然后結(jié)合圖形可確定BCD是銳角三角形時(shí)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍.

試題解析:解:(1)把B30),C0,3)代入 ,解得 拋物線的解析式為;

2)易得BC的解析式為y=x+3,直線y=xm與直線y=x平行,直線y=x+3與直線y=xm垂直,∴∠CEF=90°,∴△ECF為等腰直角三角形,作PHy軸于HPGy軸交BCG,如圖1,EPG為等腰直角三角形,PE=PG,設(shè)Pt,t24t+3)(1t3),則Gt,t+3),PF=PH=t,PG=t+3t24t+3=t2+3t,PE=PG= ,PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF= = =,當(dāng)t=2時(shí),PE+EF的最大值為;

3如圖2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x==2,設(shè)D2,y),則BC2=32+32=18,DC2=4+y32,BD2=322+y2=1+y2,當(dāng)BCD是以BC為直角邊,BD為斜邊的直角三角形時(shí),BC2+DC2=BD2,即18+4+y32=1+y2,解得y=5,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(25);

當(dāng)BCD是以BC為直角邊,CD為斜邊的直角三角形時(shí),BC2+DB2=DC2,即4+y﹣32=1+y2+18,解得y=﹣1,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1);

綜上所述:D點(diǎn)坐標(biāo)為(252,﹣1).

當(dāng)BCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí),DC2+DB2=BC2,即4+y32+1+y2=18,解得y1=,y2=,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2, )或(2, ),所以BCD是銳角三角形,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為y5或﹣1y

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