Question

（本題滿分8分）如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上一點，∠EAB=∠ADB．

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的條件下，求AE的長．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）AE=4

【解析】

試題分析：（1）連接CD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠BAC=∠EDC，然后結(jié)合已知條件得出∠EAB+∠BAC=90°，從而說明切線；（2）連接BC，根據(jù)直徑的性質(zhì)得出∠ABC=90°，根據(jù)B是EF的中點得出AB=EF，即∠BAC=∠AFE，則得出三角形相似；（3）根據(jù)三角形相似得出，根據(jù)AF和CF的長度得出AC的長度，然后根據(jù)EF=2AB代入求出AB和EF的長度，最后根據(jù)Rt△AEF的勾股定理求出AE的長度．

試題解析：（1）證明：如答圖1，連接CD， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°．

∴∠ADB+∠EDC=90°．

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°．∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如答圖2，連接BC， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°．∴∠CBA=∠ABC=90°．

∵B是EF的中點，∴在Rt△EAF中，AB=BF． ∴∠BAC=∠AFE． ∴△EAF∽△CBA．

（3）∵△EAF∽△CBA，∴． ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB．

∴，解得AB=2．∴EF=4．

∴AE=．

考點：切線的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)．

考點分析： 考點1：圓 圓，圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計算是近幾年各地中考命題的重點內(nèi)容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結(jié)論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內(nèi)容：①圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。垂徑定理是重點。② 直線和圓，圓和圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側(cè)面積和全面積的計算④圓與相似三角形，三角函數(shù)的綜合運(yùn)用以及有關(guān)的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關(guān)行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識之間的相互轉(zhuǎn)化。②理解直線和原的三種位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定的歌，會根據(jù)條件解決圓中的動態(tài)問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關(guān)系來盤底的那個兩個圓的位置關(guān)系，對中考試題中常出現(xiàn)的閱讀理解題，探索題，要靈活運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行合理推理與計算。④掌握弧長，扇形面積計算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側(cè)面展開圖⑥對組合圖形 的計算要靈活運(yùn)用計算方法解題。 試題屬性

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