Question

若二次方程x²+2px+2q=0有實根，其中p、q為奇數，證明：此方程的根是無理數．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數根與有理根

專題：

分析：分別假設方程的根為奇數、偶數、分數，然后將方程變形，得出矛盾，進而根據有理數的概念可判斷出方程x²+2px+2q=0此方程的根是無理數．

解答：解：①首先，方程的根不可能是奇數；若x為奇數，則x²為奇數，而2px+2q 是偶數，因此x²+2px+2q取奇數值，不可能是0；
②其次，方程的根不可能是偶數；若x為偶數，則x²+2px能被4整除，而這時常數項2q被4除時余2，因此不能滿足x²+2px+2q≠0；
③最后，方程的根不可能是分數；若x為分數，則x+p也是分數，而方程可以變?yōu)椋▁+p）²=p²-2q，等號右端的p²-2q是一個整數，左端是一個分數，這是一個矛盾！
綜上可知，當p，q是兩個奇數時，方程x²+2px+2q=0不可能有有理根，
即此方程的根是無理數．

點評：此題考查了一元二次方程的整數根與有理根的知識，注意運用假設法解題，得出矛盾，然后判斷假設正確與否，有一定難度．