Question

若二次方程x²+2px+2q=0有實根，其中p、q為奇數(shù)，證明：此方程的根是無理數(shù)．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：

分析：分別假設(shè)方程的根為奇數(shù)、偶數(shù)、分?jǐn)?shù)，然后將方程變形，得出矛盾，進而根據(jù)有理數(shù)的概念可判斷出方程x²+2px+2q=0此方程的根是無理數(shù)．

解答：解：①首先，方程的根不可能是奇數(shù)；若x為奇數(shù)，則x²為奇數(shù)，而2px+2q 是偶數(shù)，因此x²+2px+2q取奇數(shù)值，不可能是0；
②其次，方程的根不可能是偶數(shù)；若x為偶數(shù)，則x²+2px能被4整除，而這時常數(shù)項2q被4除時余2，因此不能滿足x²+2px+2q≠0；
③最后，方程的根不可能是分?jǐn)?shù)；若x為分?jǐn)?shù)，則x+p也是分?jǐn)?shù)，而方程可以變?yōu)椋▁+p）²=p²-2q，等號右端的p²-2q是一個整數(shù)，左端是一個分?jǐn)?shù)，這是一個矛盾！
綜上可知，當(dāng)p，q是兩個奇數(shù)時，方程x²+2px+2q=0不可能有有理根，
即此方程的根是無理數(shù)．

點評：此題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根的知識，注意運用假設(shè)法解題，得出矛盾，然后判斷假設(shè)正確與否，有一定難度．