Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

x-6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以點(diǎn)O為圓心的圓與直線AB切于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）⊙O與y軸交于E、F兩點(diǎn)，CH⊥y軸于點(diǎn)H，過H點(diǎn)作任意直線MN（不與y軸重合），交⊙O于點(diǎn)M、N，連接EM、EN，問tan∠EMN•tan∠ENM的值是否變化？若不變化，求其值，若變化，求其變化范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別令x和y為0，容易求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接FN，F(xiàn)M，由圓周角定理可知∠EMN=∠NFE，∠ENM=∠MFE，從而表示出tan∠EMN•tan∠ENM，再利用相似得到線段的比相等，所以可以得到其比值為定值．

解答：解：（1）令x=0，y=-6，
令y=0，x=2

3

，
∴A（2

3

，0），B（0，-6）；
（2）連接FN、MF，

∴tan∠EMN=tan∠NFE=

EN

NF

，
tan∠ENM=tan∠MFE=

EM

MF

，
∴tan∠EMN•tan∠ENM=

EN

NF

×

EM

MF

，
∵△ENH∽△MFH，
∴

EN

MF

=

NH

FH

，
∵△MHE∽△FHN，
∴

EM

NF

=

HE

HN

，
∴

EN

NF

×

EM

MF

=

EN

MF

×

EM

NF

=

NH

FH

×

HE

HN

=

HE

FH

（定值），
可求：OH=1.5，EH=4.5，HF=1.5，
∴tan∠EMN•tan∠ENM=

4.5

1.5

=3．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用，第二問中注意利用相似找到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．