Question

某公司生產(chǎn)一種環(huán)保產(chǎn)品，需要添加一種新型原料，若每件產(chǎn)品的利潤與新型原料價格成一次函數(shù)關(guān)系，且每件產(chǎn)品的利潤y（元）與新型原料的價格x（元/千克）的函數(shù)圖象如圖：
（1）當(dāng)新型原料的價格為600元/千克時，每件產(chǎn)品的利潤是多少？
（2）新型原料是一種稀少材料，為了珍惜資源，政府部門規(guī)定：新型原料每天使用量m（千克）與價格x（元/千克）的函數(shù)關(guān)系為x=10m+500，且m千克新型原料可生產(chǎn)10m件產(chǎn)品．那么生產(chǎn)300件這種產(chǎn)品，一共可得利潤是多少？
（3）受生產(chǎn)能力的限制，該公司每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品不超過450件，那么在（2）的條件下，該公司每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）把（0，300），（500，200）代入直線解析式可得一次函數(shù)解析式，把x=600代入函數(shù)解析式可得利潤的值；
（2）利潤=用新型原料量×每千克新型原料產(chǎn)生利潤；
（3）結(jié)合該工廠每天用新型原料量不超過45千度，得到利潤的最大值即可．

解答：解：（1）工廠每千克新型原料產(chǎn)生利潤y（元/千克）與電價x（元/千克）的函數(shù)解析式為：
y=kx+b（k、b是常數(shù)，且k≠0）．
該函數(shù)圖象過點（0，300），（500，200），
∴

500k+b=200 b=300

，
解得

k=- 1 5 b=300

．
∴y=-

1

5

x+300（x≥0）．
當(dāng)新型原料價x=600元/千克時，該工廠消耗每千克新型原料產(chǎn)生利潤y=-

1

5

×600+300=180（元/千克）．
答：工廠消耗每千克新型原料產(chǎn)生利潤是180元．

（2）設(shè)工廠每天消耗新型原料產(chǎn)生利潤為w元，由題意得：
W=my=m（-

1

5

x+300）=m[-

1

5

（10m+500）+300]．
化簡配方，得：w=-2（m-50）²+5000．
∵m千克新型原料可生產(chǎn)10m件產(chǎn)品，
∴那么生產(chǎn)300件這種產(chǎn)品需要新型原料30千克，
∴當(dāng)m=30時，w=-2（m-50）²+5000=-2×400+5000=4800元；

（3）由題意得：w=-2（m-50）²+5000，
a=-2＜0，
∴當(dāng)m=50時，w_最大=5000，
∵該公司每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品不超過450件，
∴m=45時，最大利潤為w=-2（45-50）²+5000=4950，
即當(dāng)工廠每天消耗45千克新型原料時，工廠每天消耗新型原料產(chǎn)生利潤為4950元．

點評：考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的應(yīng)用；得到總利潤的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；注意利用配方法解決二次函數(shù)的最值問題．