Question

在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C。（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)B₁在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)。①求證：BB₁∥CA₁；②求△AB₁C的面積；

（2）如圖②，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F₁，求線(xiàn)段EF₁長(zhǎng)度的最大值與最小值的差。

Answer 1

解：（1）①證明：∵AB＝AC，B₁C＝BC ∴∠1＝∠B，∠B＝∠ACB，∵∠2＝∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），∴∠1＝∠2 ∴BB₁∥CA₁

②過(guò)A作AF⊥BC于F，過(guò)C作CE⊥AB于E

  ∵AB＝AC，AF⊥BC

  ∴BF＝CF

∵cos∠ABC＝，AB＝5，

∴BF＝3

∴BC＝6

∴B₁C＝BC＝6

∵CE⊥AB

∴BE＝B₁E＝

∴BB₁＝，CE＝

∴AB₁＝，

∴△AB₁C的面積為：

（2）如圖過(guò)C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫(huà)圓交BC于F₁，EF₁有最小值。

    此時(shí)在Rt△BFC中，CF＝，

∴CF₁＝，

∴EF₁的最小值為；

   如圖，以C為圓心BC為半徑畫(huà)圓交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F₁，EF₁有最大值。

   此時(shí)EF₁＝EC＋CF₁＝3＋6＝9

 ∴線(xiàn)段EF₁的最大值與最小值的差為。