Question

如圖1，△ABC中，∠A=50°，點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點．
（1）求∠P的度數；
（2）猜想∠P與∠A有怎樣的大小關系？
（3）若點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，∠P與∠A又有怎樣的大小關系？
（4）若點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，∠P與∠A又有怎樣的大小關系？
【（2）、（3）、（4）小題只需寫出結論，不需要證明】

Answer 1

解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°；

（2）∠BPC=∠A+90．
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠BPC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BPC=∠A+90°；

（3）∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵P為△ABC兩外角平分線的交點，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，
同理可得：∴∠BCE=∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴（∠ACB+∠ABC）=90°-∠A，
∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，
180°-∠BOC=∠A+90°-∠A，
∴∠BPC=90°-∠A；

（4）若P為∠ABC和∠ACB外角的平分線BP，CP的交點，則∠BPC與∠A的關系為：∠BPC=∠A．
∵∠A+∠ABC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠PCF，BP，CP分別是∠ABC和∠ACF的平分線，
∵∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，
由以上各式可推得∠BPC=∠A．
分析：根據“三角形的外角等于與其不相鄰的兩內角和”和角平分線性質．
（1）利用角平分線的性質和三角形內角和是180度以及外角的性質求算即可；
（2）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的關系，再列出∠BPC、∠PBC、∠PCB的關系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACB和∠PCB的關系；
（3）利用P為△ABC兩外角平分線的交點，∠DBC=∠A+∠ACB，同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，再利用三角形內角和定理以及外角和定理求出即可；
（4）列出∠A、∠ABC、∠ACF的關系，再列出∠PBC、∠P、∠PCF的關系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACF和∠PCF的關系．
點評：此題主要考查了角平分線及三角形的內角和定理和三角形外角和等知識，熟練地應用其性質得出等量關系，再進行等量代換是解決問題的關鍵．