Question

設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，且

n

270

=0.1a48a48a48…，那么n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用

專(zhuān)題：

分析：設(shè)x=0．a(chǎn)48a48a48…，等式兩邊同乘以1000，就得到關(guān)于x的一元一次方程，求出x，從而將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，進(jìn)而得到n=27+27x，化簡(jiǎn)后可得n=29+2a+

26(a-1)

37

，由n、a是整數(shù)可得

26(a-1)

37

也是整數(shù)，由26與37互質(zhì)可得a-1是37的倍數(shù)，由0≤a≤9可得a=1，就可得到n的值．

解答：解：設(shè)x=0．a(chǎn)48a48a48…，
則1000x=100a+48+0．a(chǎn)48a48a48…=100a+48+x，
解得：x=

100a+48

999

，
∴

n

270

=0.1a48a48a48…=0.1+0.0a48a48a48…，
∴n=27+27x=27+27×

100a+48

999

=27+

100a+48

37

=27+

74a+74+26a-26

37

=27+2a+2+

26(a-1)

37

=29+2a+

26(a-1)

37

∵n是一個(gè)正整數(shù)，a是非負(fù)整數(shù)，
∴

26(a-1)

37

是整數(shù)．
∵26與37互質(zhì)，
∴a-1是37的倍數(shù)，
∵0≤a≤9，
∴a-1=0即a=1，
∴n=29+2+0=31．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了整數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用、兩數(shù)互質(zhì)、約數(shù)與倍數(shù)等知識(shí)，而將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)是解決本題的關(guān)鍵．