Question

如圖，已知拋物線C₁：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

（1）求P點坐標及a的值；（2分）

（2）如圖（1），將拋物線C₁繞點B旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₂．，求C₂的解析式；（4分）

（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₃．拋物線C₃的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．（5分）

 

Answer 1

解：（1）由拋物線C₁：得
頂點P的為（-2，-5）　
∵點B（1，0）在拋物線C₁上

解得，a＝
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G

∵點P、M關(guān)于點B成中心對稱

∴PM過點B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴頂點M的坐標為（4，5）

∴拋物線C₂的表達式為　

（3）∵拋物線C₃由C₁繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱

由（2）得點N的縱坐標為5

設(shè)點N坐標為（m，5）……………………………8分

　作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G

作PK⊥NG于K

∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上

∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，點F坐標為（m+3，0）

H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），

根據(jù)勾股定理得

PN²＝NK²+PK²＝m²+4m+104

PF²＝PH²+HF²＝m²+10m+50

NF²＝5²+3²＝34

①當∠PNF＝90º時，PN²+ NF²＝PF²，解得m＝，∴Q點坐標為（，0）

②當∠PFN＝90º時，PF²+ NF²＝PN²，解得m＝，∴Q點坐標為（，0）

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º

綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．