Question

如圖，矩形紙片ABCD的兩邊長AB=8cm、AD=6cm，沿過BD的中點D的直線對折，使B與D點重合（即B、D兩點關(guān)于EF對稱，EF是BD的垂直平分線），然后將紙片攤平．
（1）求證：BEDF為菱形；
（2）求折痕EF的長．

Answer 1

分析：（1）平行四邊形對角線互相垂直即為菱形；
（2）第二問中在直角三角形中，對角線BD是已知，可設(shè)BE的長為x，利用勾股定理求出BE，OE即可．

解答：證明：（1）∵紙片沿過BD的中點D的直線對折、使B與D點重合，
∴OD=OB，∠DOE=∠BOF，OF=OE，
∴△DOE≌△BOF，所以DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF為菱形；

解：（2）連接BE，由題意可得：EF垂直平分BD，
所以BE=DE，又OB=

1

2

BD=

1

2

62+ 82

=5，
設(shè)BE=ED=x，則CE=8-x，
在直角△BCE中，由勾股定理可得：x²=（8-x）²+6²，解得x=

25

4

，
又在直角△ODE中，由勾股定理可得：OE=

DE2 - OD2

 = 

(  25 4 )2- 52

=

15

4

，
而△DOE≌△BOF，所以O(shè)E=OF，故EF=

15

2

．

點評：掌握菱形性質(zhì)的判定，會利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形．