Question

已知二次函數(shù)y=-x²+6x-5的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．
（1）通過(guò)配方，確定點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-4的圖象與x軸交于點(diǎn)D、E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），頂點(diǎn)為F．
①若存在以六點(diǎn)A、B、C、D、E、F中的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則m=

 

；
②是否存在以六點(diǎn)A、B、C、D、E、F中的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將二次函數(shù)配方后即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）A、B、D、E四點(diǎn)在同一直線上，不可能構(gòu)成四邊形，只能四邊形ACBF為菱形，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，從而確定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，-4），然后利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式求得m的值即可；
（3）A、B、D、E四點(diǎn)在同一直線上，不可能構(gòu)成四邊形，顯然，∠ACB≠90°，∠ACB也不可能為矩形的一個(gè)內(nèi)角，所以四邊形為矩形的頂點(diǎn)只能是A、C、E、F或B、C、D、F；然后分當(dāng)以四邊形ACEF為矩形時(shí)和當(dāng)四邊形BCDF為矩形時(shí)兩種情況分類(lèi)討論即可確定m的值．

解答：解：（1）y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）；

（2）①A、B、D、E四點(diǎn)在同一直線上，不可能構(gòu)成四邊形，
∴只能四邊形ACBF為菱形，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，-4），
∴二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-4的頂點(diǎn)為F，
∴-

-2m

2

=3，
解得：m=3；

②A、B、D、E四點(diǎn)在同一直線上，不可能構(gòu)成四邊形，
顯然，∠ACB≠90°．
∴∠ACB也不可能為矩形的一個(gè)內(nèi)角；
所以四邊形為矩形的頂點(diǎn)只能是A、C、E、F或B、C、D、F．
當(dāng)以四邊形ACEF為矩形時(shí)，
函數(shù)y=（x-m）²-4的圖象可由y=-（x-3）²+4關(guān)于x軸的
對(duì)稱(chēng)圖象沿x軸平移而得，所以△ABC≌△DEF．；
當(dāng)四邊形ACEF為矩形時(shí)，△ACG∽△FAH．
∴

CG

AG

=

AH

HF

，
即

4

2

=

AH

4

．
∴AH=8．
∴m=9，
當(dāng)四邊形BCDF為矩形時(shí)，同上求得m=-3，
∴當(dāng)m=-3或9時(shí)，存在以六點(diǎn)A、B、C、D、E、F中的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，（2）小題中，都用到了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．