Question

如圖，已知AB=10，點P是線段AB上的動點，以AP為邊作正六邊形APCDEF，以PB為底作等腰△BPN，連接PD、DN，則△PDN的面積的最大值是（　�。�

• A、6

  3

• B、

  25 3

  4

• C、7

  3

• D、

  25 3

  2

Answer 1

考點：含30度角的直角三角形,三角形的面積,等腰三角形的性質,多邊形

專題：

分析：根據正六邊形的性質求得EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六邊形的每一個內角為120°，進而求得∠ADP=30°，從而求得PD=

3

PA，設PA=x．則PB=10-x，根據等腰三角形的性質求得PM=

1

2

PB=

1

2

（10-x），根據三角形的面積就可得出S_△PDN=

1

2

PD•PM=-

3

4

（x-5）²+

25 3

4

，從而得出△PDN的面積的最大值．

解答：解：連接AD，作NM⊥PB于M，
∵六邊形APCDEF是正六邊形，
∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六邊形的每一個內角為120°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADP=30°
∴PD=

3

PA，
∵DP⊥AB，NM⊥PB
∴PD∥MN，
∴PM就是△PDN的PD邊的高，
設PA=x．則PB=10-x，
∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，
∴PM=PB，
∴PM=

1

2

PB=

1

2

（10-x），
∴S_△PDN=

1

2

PD•PM=

1

2

×

3

x×

1

2

（10-x）=-

3

4

（x-5）²+

25 3

4

，
∴△PDN的面積的最大值為：

25 3

4

．
故選B

點評：本題考查了正六邊形的性質，含30°角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線間的距離以及三角形的面積等，作出輔助線是本題的關鍵．