Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是　 　；

（2）如圖2，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）DE=BC。
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
（3）補(bǔ)全圖形如圖，DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系為BF﹣BP=DE。

試題分析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°。
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DB=DC，∴△DCB為等邊三角形。
∵DE⊥BC，∴DE=BC。
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
BF+BP=DE。證明如下：
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF。
∵∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB。，∴∠CDP=∠BDF。
在△DCP和△DBF中，∵DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，
∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF。
∵CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC。
∵由（1）DE=BC，∴BC=DE。∴BF+BP=DE。
（3）與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，∴CP=BF。
∵CP=BC+BP，∴BF﹣BP=BC=DE。　
補(bǔ)全圖形如圖，DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系為BF﹣BP=DE。