Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PE⊥AB交BA延長(zhǎng)線于E，PF⊥AC交AC延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：AEPF是矩形；
（2）D為BC中點(diǎn)，連接DE，DF．求證：DE=DF．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）首先利用平行線的定義判定平行四邊形，然后利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形；
（2）再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AE=FP，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)可得出AD=BC再由全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CDF，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵∠BAC=90°，PE⊥AB，
∴PE∥AF，
∴PF∥AE，
∴AEPF是平行四邊形，
∵PE⊥AB，
∴AEPF是矩形；

（2）連接DA，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴DA=DC，∠DAE=∠DCF=135°，
又由（1）知AE=PF，△CFP是等腰直角三角形，
∴CF=PF=AE，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中．