Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC．
（1）試猜想AE與GC有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，求證：AE⊥GC．（友情提示：旋轉(zhuǎn)后的幾何圖形與原圖形全等）

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，AE、CG的數(shù)量關(guān)系可能是相等，下面著手證明．由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，由SAS易證得△ADE≌△CDG，則AE=GC；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可由SAS證得△ADE≌△CDG，得AE=GC；
（3）由△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由圖知∠AEB=∠CEH=90°-∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得證．

解答：（1）解：AE=GC．理由如下：
在正方形ABCD與正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=GC；

（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=GC；

（3）證明：延長AE和GC相交于點H，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)．需要注意的是：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．