Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)在第一象限，以P為圓心，半徑為1的⊙P與y軸及矩形OABC的邊BC都相切．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過O、P、A三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若⊙P與矩形OABC組合得到的圖形的面積能被一條直線l平分，求這條直線l的解析式；
（3）若點(diǎn)N在拋物線上，問x軸上是否存在點(diǎn)M，使得以M為圓心的⊙M能與△PAN的三邊PA、PN、AN所在直線都相切？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上，
∴，
即，
所以拋物線的解析式為：y=-x²+4x．

（2）連接AC、OB相交于Q，則Q是矩形OABC的對(duì)稱中心，
∵P是⊙P的對(duì)稱中心，
∴PQ平分⊙P與矩形OABC組合得到的圖形的面積
設(shè)PQ的解析式為y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）
∴，
∴，
所以PQ解析式為y=-2x+5．

（3）假設(shè)x軸上存在點(diǎn)M，使得⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN所在的直線都相切，
則有如下兩種情形：
①當(dāng)⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN相切時(shí)，則M是△PAN的內(nèi)心．
∵M(jìn)在x軸上，
∴x軸為∠PAN的平分線，
∴P（1，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)G（1，-3）在AN上，
所以AN的解析式為：y=x-4，
由得到N（-1，-5）
作PR⊥ox軸于R，∵PR=3=AR，
∴∠PAO=45°，
在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
∴
作NH⊥ox軸于H，因?yàn)锳N的解析式為：y=x-4，
所以∠NAH=45°，
∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
∴，在Rt△NAP中，
∴Rt△NAP的內(nèi)切圓⊙M的半徑，
∴，
∴，0）．
②當(dāng)⊙M與△PAN的邊AP、AN的延長(zhǎng)線相切于J、S，且與AN邊相切于R時(shí)，則M是△PAN的旁心．
由①Rt△NAP的三邊長(zhǎng)度分別為：，，
∴NS=NR，PR=PJ，
∴旁切圓的半徑，
∴，，0）．
綜上所述：x軸上存在點(diǎn)M，
使得⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN所在的直線都相切，0）、，0）．
分析：（1）將三點(diǎn)坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式方程可得abc的值，進(jìn)而可得解析式；
（2）連接AC、OB相交于Q，易得Q是矩形OABC的對(duì)稱中心，進(jìn)而設(shè)其方程為y=kx+b，代入PQ的坐標(biāo)可得答案；
（3）假設(shè)存在并設(shè)出其坐標(biāo)，①⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN相切，②⊙M與△PAN的邊AP、AN的延長(zhǎng)線相切，兩種情況討論，根據(jù)相切的性質(zhì)，分析可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．