Question

【題目】（1）如圖1，三角形ABC中，BO平分∠ABC、CO平分∠ACB，則∠BOC與∠A的數(shù)量關系是 ；

（2）如圖2，BO平分△ABC的外角∠CBD、CO平分△ABC的外角∠BCE，則∠BOC與∠A的關系是 ；

（3）請就圖2及圖2中的結論進行證明．

Answer 1

【答案】（1）∠BOC=90°+∠A；（2）∠BOC=90°-∠A；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可；

（2）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-∠A；

（3）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-∠A．

試題解析：（1）∠BOC=90°+∠A．

∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），

在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-

=90°+∠A，

（2）∠BOC與∠A的關系是∠BOC=90°-∠A．

（3）如圖，

∵BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，

∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，

∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，

∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，

又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，

∴2∠BOC=180°-∠A，

∴∠BOC=90°-∠A．