Question

如圖，Rt△OAB在平面直角坐標(biāo)系，直角頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=．反比例函數(shù)P（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)C（m，2）是反比例函數(shù)B（x＞0）圖象上的點(diǎn)．
①在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA+PC最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
②在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QA與QC的差最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠OBA=90°，sin∠AOB=，可設(shè)AB=4a，OA=5a，
∴OB==3a，又OB=3，
∴a=1，
∴AB=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），
∵點(diǎn)A在其圖象上，
∴4=
k=12；
∴比例函數(shù)的解析式為；

（2）∵點(diǎn)C（m，2）是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的點(diǎn)，k=12，
∴2=，
∴m=6，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2）；
①在x軸上存在點(diǎn)P，使得PA+PC最小．理由如下：由點(diǎn)A（3，4）可知它關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'（3，-4），設(shè)直線A'C的解析式為：y=k₁x+b₁，
∵A'（3，-4）與（6，2）在其圖象上，
，
解得
∴直線A'C的解析式為：y=2x-10，
設(shè)y=0，可知x=5，
∴P（5，0）可使PA+PC最��；
②在x軸上存在點(diǎn)Q，使得線段QA與QC的差最大．理由如下：
設(shè)直線AC的解析式為：y=k₂x+b₂，
∵A（3，4）與C（6，2）在其圖象上，
，
解得
∴直線AC的解析式為：，
設(shè)y=0，可知x=9，
∴Q（9，0）可使線段QA與QC的差最大．
分析：（1）首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）①首先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得直線A′C的解析式后求得其與x軸的交點(diǎn)即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②求得直線AC的解析式后求得直線AC與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是第二題中求兩條線段的和的最大值更是中考的熱點(diǎn)考題之一．