Question

如圖，A（4，0），B（2，4），C（0，4），直線y=x-3，與y軸、x軸分別交與D、E兩點，P是折線BC-CO上的動點．（1）直接寫出D、E兩點的坐標D（

 

）、E（

 

）；
（2）當(dāng)P是線段BC的中點時，求△PDE的面積；
（3）若P在線段OC上，過P作直線y=x-3的垂線，垂足為F，若以P，F(xiàn)，O為頂點的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線直線y=x-3即可求得D、E的坐標；
（2）求得P的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線PD的解析式，進而求得直線PD與x軸的交點坐標，根據(jù)△PDE的面積等于兩個三角形面積的和即可求得；
（3）設(shè)P（0，a）（0≤a≤4），F(xiàn)（b，b-3），過F作FH⊥y軸于H，先求得∠ODE=45°，進而求得∠HPF=45°，得出PH=FH，從而求得b=

a+3

2

，根據(jù)勾股定理求得OF²=

a2+9

2

，PF²=（

a+3

2

）²，然后分三種情況討論求得；

解答：解：（1）∵直線y=x-3，與y軸、x軸分別交與D、E兩點，
∴D（0，-3），E（3，0）；
故答案為0，-3、3，0．

（2）如圖1，設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b，
∵P是線段BC的中點，B（2，4），C（0，4），
∴P（1，4），
∵D（0，-3），
∴

k+b=4 b=-3

，解得k=7，
∴PD的解析式為y=7x-3，
∴直線PD與x軸的交點為（

3

7

，0），
∴△PDE的面積=

1

2

×（3-

3

7

）×4+

1

2

×（3-

3

7

）×3=9；

（3）如圖2，設(shè)P（0，a）（0≤a≤4），F(xiàn)（b，b-3），
過F作FH⊥y軸于H，
∵OD=OE，
∴∠ODE=45°，
∴∠HPF=45°，
∴PH=FH，
即a-（b-3）=b，解得b=

a+3

2

，
∴OF²=b²+（b-3）²=（

a+3

2

）²+（

a+3

2

-3）²=

a2+9

2

，PF²=b²+（a-b+3）²=（

a+3

2

）²+（a-

a+3

2

+3）²=（

a+3

2

）²，
當(dāng)OP=OF時，a²=

a2+9

2

，解得a=±3，∴P（0，3）；
當(dāng)OP=PF時，a²=（

a+3

2

）²，解得a=3±3

2

，不合題意舍去；
當(dāng)PF=OF時，（

a+3

2

）²=

a2+9

2

，解得a=0，不合題意舍去；
∴以P，F(xiàn)，O為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標為（0，3）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形面積的求法，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；（3）作出輔助線根據(jù)等腰直角三角形是關(guān)鍵．