Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于M、N兩點．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）設直線與x軸交于點A，連接OM、ON，求三角形OMN的面積；
（4）在平面直角坐標系中是否存在一點P，使以P，A，O，N為頂點的四邊形為
平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出反比例函數(shù)解析式，進而得出M點坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）利用函數(shù)圖象以及M，N點坐標得出即可；
（3）利用分割法分割三角形，由M，N點坐標，再利用三角形面積公式得出即可；
（4）利用平行四邊形的性質(zhì)得出P點坐標即可．

解答：解：（1）∵N點坐標為：（-1，-4），
∴xy=k=-1×（-4）=4，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=

4

x

，
∵M點也在反比例函數(shù)圖象上，
∴2m=4，
∴m=2，
∴M點坐標為：（2，2），
∵一次函數(shù)y=ax+b，
∴

2a+b=2 -a+b=-4

，
解得：

a=2 b=-2

，
∴一次函數(shù)解析式為：y=2x-2；

（2）根據(jù)圖象可得出：當0＜x＜2或x＜-1時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)；

（3）∵一次函數(shù)解析式為：y=2x-2，
∴y=0時，x=1，
∴AO=1，
三角形OMN的面積為：S_△OAM+S_△OAN=

1

2

×1×2+

1

2

×1×4=3；

（4）∵AO=1，當AN為對角線，四邊形ONP₁A為平行四邊形，NP₁=1，且AO∥NP₁，
∴P₁（0，-4），
當AN為邊，四邊形OP₂NA為平行四邊形，NP₂=1，且AO∥NP₂，
∴P₂（-2，-4），
當AN為邊，四邊形OP₃AN為平行四邊形，AP₃=AN=

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，P₃到x軸距離為4，到y(tǒng)軸距離為2，且AP₃∥ON，
∴P₃（2，4），
綜上所述：存在，使以P，A，O，N為頂點的四邊形為平行四邊形，P點坐標為：（0，-4），（-2，-4），（2，4）．

點評：此題主要考查了利用圖象判斷函數(shù)值的大小以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關鍵．