Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，BM交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作ND⊥MD于點(diǎn)D，DN交BM于點(diǎn)N．

（1）若BC=，求△BDE的周長；

（2）求證：NE－ME=CM．

 

 

Answer 1

（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)求出BD=DC的長，由點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)得到DE的長，從而由勾股定理求出BE的長，即可得△BDE的周長.

（2）過點(diǎn)D作DF⊥BM于點(diǎn)F，根據(jù)△DEF≌△CEM（AAS）和△BDN≌△CDM（ASA）證得∠DNM=∠DMN=45°和∠DNF=∠NDF=45°，得到DF=NF即可得出結(jié)論.

（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB，

∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB=45°.

∵BC= ，∴BD=CD=2.

∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∴DE=CE=CD=1.

∴.

∴.

∴△BDE的周長為.

（2）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BM于點(diǎn)F，

∵BM⊥AC，∴∠DFE=∠CME=90°.

在△DEF和△CEM中，∵，∴△DEF≌△CEM（AAS）.

∴DF=CM，F(xiàn)E=ME.

∵ND⊥MD，CD⊥AB，∴∠BDN+∠NDE=∠CDM+∠NDE=90°. ∴∠BDN=∠CDM.

∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠BDE=∠CDA=90°，∠DBE+∠DEB=∠ACD+∠CEM=90°.

∵∠DEB=∠CEM，∴∠DBE=∠ACD.

在△BDN和△CDM中，∵，∴△BDN≌△CDM（ASA）.

∴DN=DM.

∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠DMN=45°；在Rt△DFN中，∠DNF=∠NDF=45°.

∴DF=NF.

又∵DF=CM，F(xiàn)E=ME，∴NE=NF+FE=CM+ME.

∴NE－ME=CM..

考點(diǎn)：1. 等腰三角形的判定和性質(zhì)；2.勾股定理；3.全等三角形的判定和性質(zhì).