Question

閱讀下面材料：
小輝遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE的長(zhǎng)．
小輝發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE=45°，可證△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長(zhǎng)．
請(qǐng)回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是

 

，DE的長(zhǎng)為

 

．
參考小輝思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=

1

2

∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：對(duì)于圖2，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠ACF=∠B=45°，CF=BD，所以∠FCE=∠ACF+∠ACB=90°，然后利用勾股定理計(jì)算EF，即可得到DE；
對(duì)于圖3，將△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，由于∠B+∠ADC=180°，則∠ADG+∠ADC=180°，則可判斷點(diǎn)F，D，G在同一條直線上，接著證明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，由于FG=DG+FD=BE+DF，于是得到EF=BE+FD．

解答：解：如圖2，∵∠ACF=∠B=45°，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
在Rt△EFC中，∵CF=BD=3，CE=1，
∴EF=

CF2+CE2

=

32+12

=

10

，
∴DE=

10

，
故答案為90°；

10

；
如圖3，
猜想：EF=BE+FD．理由如下：
如圖，將△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADG+∠ADC=180°，即點(diǎn)F，D，G在同一條直線上，
∵∠DAG=∠BAE，
∴∠GAE=∠BAD，
∵∠EAF=

1

2

∠BAD，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+FD=BE+DF，
∴EF=BE+FD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．