Question

【題目】已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF2=EC2﹣EF2； ④BA+BC=2BF．其中正確的是_____．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

根據(jù)已知條件易證△ABD≌△EBC，可判定①正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、結(jié)合全等三角形的性質(zhì)及平角的定義即可判定②正確；證明AD=AE=EC，再利用勾股定理即可判定③正確；過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，證明Rt△BEG≌Rt△BEF及Rt△CEG≌Rt△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=CG，所以BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF，即可判定④正確.

①∵BD為△ABC的角平分線，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△EBC中，

，

∴△ABD≌△EBC（SAS），

∴①正確；

②∵BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，

∴②正確；

③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE為等腰三角形，

∴AE=EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，

∵EF⊥AB，

∴AF2=EC2﹣EF2；

∴③正確；

④如圖，過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，

∵E是BD上的點(diǎn)，∴EF=EG，

在Rt△BEG和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），

∴BG=BF，

在Rt△CEG和Rt△AFE中，

，

∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），

∴AF=CG，

∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF，

∴④正確．

故答案為：①②③④．