Question

如圖，A為第一象限內(nèi)一點(diǎn)．⊙A切y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)B，C，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形OEAD是矩形；
（2）若A（5，4），求過點(diǎn)D，B，C的拋物線解析式；
（3）點(diǎn)F與（2）中的點(diǎn)D，B，C三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，把（2）中的拋物線向上或向下平移多少個(gè)單位長度后所得拋物線經(jīng)過點(diǎn)F？請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)及相應(yīng)平移方向與平移距離；
（4）在（2）的條件下，點(diǎn)P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，在BP右側(cè)作PQ⊥PB，且PQ=PB，求當(dāng)DQ+BQ最小時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ADO=90°，根據(jù)垂徑定理得出∠AEO=90°，因?yàn)椤螪OE=90°，即可證得結(jié)論；
（2）連接AB，根據(jù)勾股定理求得BE，進(jìn)而求得B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)即可求得；
（4）過P作PF⊥x軸于F，過Q作QG⊥FP于G，先求得△PGQ≌△BFP，從而求得QG=PF=4，GP=FB，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x，則DP=OF=x-4，BF=OB-OF=6-x，進(jìn)而求得FG=GP+PF=10-x，得出Q（x，10-x），證得點(diǎn)Q始終在直線y=10-x的直線上，作點(diǎn)D關(guān)于直線y=10-x的對(duì)稱點(diǎn)D′（6，10），并連接D′B，交直線y=10-x于Q，此時(shí)DQ+BQ的值最��；設(shè)直線BD′的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線BD′的解析式，再與y=10-x聯(lián)立方程，通過解方程求得Q的坐標(biāo)，進(jìn)而就可求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，
∵⊙A與y軸相切，
∴AD⊥y軸，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∴∠AEO=90°，
∵∠DOE=90°，
∴四邊形OEAD是矩形；

（2）如圖2，連接AB，
∵A（5，4），
∴AD=OE=5，AE=OD=4，
∴AB=AD=5，
∴在RT△ABE中，BE=

AB2-AE2

=

52-42

=3，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE=3，
∴B（2，0），C（8，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），
把D（0，4）代入，得4=16a，解得a=

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

（x-2）（x-8）；

（3）將拋物線向上平移6個(gè)單位長度經(jīng)過點(diǎn)F₁（6，4），
將拋物線向下平移24個(gè)單位長度經(jīng)過點(diǎn)F₂（-6，4），
將拋物線向下平移8個(gè)單位長度經(jīng)過點(diǎn)F₃（8，-4）；

（4）如圖3，過P作PF⊥x軸于F，過Q作QG⊥FP于G，
∴∠G=∠PFB=90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠GPQ+∠BPF=90°，
∵∠GPQ+∠PQG=90°，
∴∠PQG=∠BPF，
∵PQ=PB，
∴△PGQ≌△BFP（AAS），
∴QG=PF=4，GP=FB，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x，則DP=OF=x-4，BF=OB-OF=6-x，
∴FG=GP+PF=10-x，
∴Q（x，10-x），
∴點(diǎn)Q始終在直線y=10-x的直線上，
作點(diǎn)D關(guān)于直線y=10-x的對(duì)稱點(diǎn)D′（6，10），并連接D′B，交直線y=10-x于Q，此時(shí)DQ+BQ的值最��；
設(shè)直線BD′的解析式為y=kx+b，則

6k+b=10 2k+b=0

，解得

k= 5 2 b=-5

，
∴直線BD′的解析式為y=

5

2

x-5，
解

y= 5 2 x-5 y=10-x

得

x= 30 7 y= 40 7

，
∴Q（

30

7

，

40

7

），
∴DP=x-4=

2

7

，
∴P（

2

7

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，矩形的判定，三角形求得的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)等，本題有一定的難度，（4）確定出Q點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．