Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，以AD為直徑的⊙O交AB于點E，連接DE，⊙O的切線EF交BC于點F，連接BD．若DC=DE，AB=BD，則=    ，=    ．

Answer 1

【答案】分析：過點C作CM⊥AB，設(shè)AE=x，DC=DE=y，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出AB=y+2x，EB=x+y，根據(jù)AB²=BD²，得出y與x的關(guān)系式，然后將此關(guān)系式代入即可得出答案；
根據(jù)AD²=AE²+DE²=x²+（3x）²可求出AD的長度，然后判斷RT△AED∽RT△BEF，從而得出BF的表達式，解出CF的長度表達式，繼而代入可得出的值．
解答：解：過點C作CM⊥AB，

設(shè)AE=x，DC=DE=y，
∵AD為直徑，
∴∠DEA=90°，
又∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AE=BM，
∴AB=DC+AE+BM=DC+2AE=y+2x，EB=DC+MB=y+x，
∵AB=BD，
∴AB²=BD²，即（y+2x）²=DE²+EB²=y²+（y+x）²，
整理得：3（）²+2（）-1=0，即可得：[3（）-1][（）+1]=0，
∴=，（負值舍去），
∴y=3x；
故可得：===；
∵AD²=AE²+DE²=x²+（3x）²=10x²，
∴AD=x，
∵AD=BC，∠DAE=∠CBE，∠DAE=∠DEF，（同弧上的圓周角），∠DAE+∠ADE=90°=∠DEF+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
又∵∠EFB=180°-∠BEF-∠CBE=180°-（∠ADE+∠DAE）=180°-90°=90°，
∴RT△AED∽RT△BEF（AAA），
∴=，即=，
解得：BF=，
又∵CF=BC-BF=AD-BF=x-=，
∴==．
故答案為：、．
點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出線段的長度，利用方程的思想進行線段比值的求解，技巧性較強，難度較大．