【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,且OA=4,OC=3,若拋物線經(jīng)過O,A兩點(diǎn),且頂點(diǎn)在BC邊上,點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為(0,1),對(duì)稱軸交BE于點(diǎn)F.
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上,點(diǎn)N在x軸上,請(qǐng)問是否存在以點(diǎn)A,F,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) y=﹣x2+3x;(2)見解析.
【解析】
1)利用矩形的性質(zhì)得A(4,0),C(0,3),B(4,3),再利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),則可設(shè)交點(diǎn)式y=ax(x-4),然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可;
(2)先利用待定系數(shù)法求出,直線BE的解析式為y=x+1,則可求出F(2,2),然后討論:當(dāng)AF為對(duì)角線時(shí),利用FM∥AN得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,于是解方程﹣ x2+3x=2可得到M點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)AF為邊時(shí),若四邊形AFMN為平行四邊形,易得M點(diǎn)的坐標(biāo);若四邊形AFNM為平行四邊形時(shí),利用平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)的平移規(guī)律得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2,則解方程-﹣ x2+3x=﹣2可得M點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)∵四邊形OABC為矩形,
∴AB=OC=3,BC=OA=4,
∴A(4,0),C(0,3),B(4,3),
∵拋物線的對(duì)稱軸平分BC,
而拋物線的頂點(diǎn)在BC上,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),
設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x﹣4),
把(2,3)代入得a2(﹣2)=3,解得a=﹣,
∴拋物線的解析式為y=﹣x(x﹣4),
即y=﹣x2+3x;
(2)存在.
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b,
把B(4,3),E(0,1)代入得,解得,
∴直線BE的解析式為y=x+1,
當(dāng)x=2時(shí),y=x+1=2,則F(2,2),
當(dāng)AF為對(duì)角線時(shí),FM∥AN,
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,
當(dāng)y=2時(shí),﹣ x2+3x=2,解得x1=(舍去),x2=,
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,2);
當(dāng)AF為邊時(shí),若四邊形AFMN為平行四邊形,易得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,2);
若四邊形AFNM為平行四邊形時(shí),點(diǎn)F向下平移2個(gè)單位得到N點(diǎn),則點(diǎn)A向下平移2個(gè)單位得到M點(diǎn),
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2,
當(dāng)yspan>=﹣2時(shí),﹣ x2+3x=﹣2,解得x1=(舍去),x2=,
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,﹣2),
綜上所述,符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,﹣2)或(,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B;二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn),與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求四邊形BDEC的面積S;
(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng),是否存在點(diǎn)P使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
(4)若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上,動(dòng)點(diǎn)Q在射線AC上,同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng),是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似,若存在,求a的值,若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,a、b、c是三條公路,且a∥b,加油站M到三條公路的距離相等.(1)確定加油站M的位置.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)一輛汽車沿公路c由A駛向B,行使到AB中點(diǎn)時(shí),司機(jī)發(fā)現(xiàn)油料不足,僅剩15升汽油,需要到加油站加油,已知從AB中點(diǎn)有路可直通加油站,若AB相距200千米,汽車每行使100千米耗油12升,請(qǐng)判斷這輛汽車能否順利到達(dá)加油站?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn),設(shè)∠OAB=α,∠C=β.
(1)當(dāng)β=36°時(shí),求α的度數(shù);
(2)猜想α與β之間的關(guān)系,并給予證明.
(3)若點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB,且BC2=3OA2 ,試求α的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,CD上,且∠EAF=45°,將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處,則下列判斷不正確的是( )
A.△AEE′是等腰直角三角形 B.AF垂直平分EE'
C.△E′EC∽△AFD D.△AE′F是等腰三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+2k﹣2=0.
(1)求證:此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)若此方程有一個(gè)根大于0且小于1,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在以O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),四邊形OABC是矩形,反比例函數(shù)y=(x>0)與AB相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)E,若BE=4CE,四邊形ODBE的面積是8,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一張半徑為2的半圓圖紙沿它的一條弦折疊,使其弧與直徑相切,如圖所示,O為半圓圓心,如果切點(diǎn)分直徑之比為3:1,則折痕長(zhǎng)為( 。
A. 3 B. C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4),且與y軸交于點(diǎn)
C(0,3)
求該函數(shù)的關(guān)系式;
求改拋物線與x軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo).
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