Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A（3，0），C（0，1）．將矩形OABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．設(shè)直線BB′與x軸交于點M、與y軸交于點N，拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點C′、M、N．解答下列問題：
（1）求出該拋物線所表示的函數(shù)解析式；
（2）將△MON沿直線BB′翻折，點O落在點P處，請你判斷點P是否在該拋物線上，并請說明理由；
（3）將該拋物線進(jìn)行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好經(jīng)過原點O，求出所有符合要求的新拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐標(biāo)，設(shè)直線BB′的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法即可求出此直線的解析式，進(jìn)而可得出M、N兩點的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，把CMN三點的坐標(biāo)代入此解析式即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），連接OP，PM，由對稱的性質(zhì)可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的長，由三角形的面積公式得出OE的長，利用兩點間的距離公式求出x、y的值，把x的值代入二次函數(shù)關(guān)系式看是否適合即可；
（3）由于拋物線移動的方向不能確定，故應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴B（3，1），
根據(jù)題意，得B′（-1，3）
把B（3，1），B′（-1，3）代入y=mx+n中，

3m+n=1 -m+n=3

，
解得

m=- 1 2 n= 5 2

∴m=-

1

2

，n=

5

2

∴此一次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

，
∴N（0，

5

2

），M（5，0）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
把C′（-1，0），N（0，

5

2

），M（5，0）代入得：

a-b+c=0 c= 5 2 25a+5b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x²+2x+

5

2

；

（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），連接OP，PM，
∵O、P關(guān)于直線MN對稱，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，

5

2

），M（5，0），
∴MN=

ON2+OM2

=

( 5 2 )2+52

=

5 5

2

，OE=

ON×OM

MN

=

5 2 ×5

5 5 2

=

5

，
∴OP=2OE=2

5

，
∴OP=

x2+y2

=2

5

①，
PM=

(5-x)2+y2

=5②，
①②聯(lián)立，解得

x=2 y=4

，
把x=2代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+2x+

5

2

得，y=

9

2

，
∴點P不在此二次函數(shù)的圖象上；

（3）①在上下方向上平移時，根據(jù)開口大小不變，對稱軸不變，
所以，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)不變，
根據(jù)它過原點，把（0，0）這個點代入得常數(shù)項為0，
新解析式就為：y=-

1

2

x²+2x；
②在左右方向平移時，開口大小不變，二次項系數(shù)不變，為-

1

2

，
這時根據(jù)已經(jīng)求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它與X軸的兩個交點的距離還是為6，
所以有兩種情況，向左移5個單位，此時M與原點重合，另一點經(jīng)過（-6，0），
代入解出解析式為y=-

1

2

x²-3x；
③當(dāng)它向右移時要移一個單位C′與原點重合，此時另一點過（6，0），
所以解出解析式為y=-

1

2

x²+3x．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的幾何變換等相關(guān)知識，在解③時要應(yīng)用分類討論的思想進(jìn)行解答．