Question

（2004•靜安區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，DE∥AC，DE與BC的延長線交于點E，AE交CD于F，BF交AC于G．
（1）求證：G是△ABE重心；
（2）已知cos∠DAF=

2

3

，求證：∠BCG=∠BGC．

Answer 1

分析：（1）欲證G是△ABE重心，可以通過證明四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形和矩形的性質(zhì)得到AF=EF，BC=CE得證；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)可證BG=BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得證．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BE．
又∵DE∥AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形．
∴AF=EF，AD=CE．
∵BC=AD，
∴BC=CE．
∴G是△ABE的重心．

（2）∵∠ABE=90°，AF=EF，
∴BF=

1

2

AB=AF，
∵G是△ABE的重心，
∴BG=

2

3

BF=

2

3

AF，
∵∠ADC=90°，cos∠DAF=

2

3

，
∴

AD

AF

=

2

3

，（1分）
∴BC=AD=

2

3

AF，
∴BG=BC．（1分）
∴∠BCG=∠BGC．（1分）

點評：考查了三角形的重心和解直角三角形，（1）中得到AF=EF，BC=CE是解題的關(guān)鍵，（2）中通過證明兩腰相等求解．