Question

如圖，Rt△OAC是一張放在平面直角坐標系中的直角三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸上，點C在y軸上，OC=

3

，∠CAO=30度．將Rt△OAC折疊，使OC邊落在AC邊上，點O與點D重合，折痕為CE．
（1）求折痕CE所在直線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）設點M為直線CE上的一點，過點M作AC的平行線，交y軸于點N，是否存在這樣的點M，使得以M、N、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為∠CAO=30°，由折疊可知∠OCE=∠ECD=

1

2

∠OCA=30°，
在Rt△COE中，利用三角函數可求OE=OC•tan∠OCE=

3

×

3

3

=1，從而可求點E的坐標是（1，0）．
因為OC=

3

，所以C（0，

3

）．
可設直線CE的解析式為y=kx+b，將C、E的坐標代入，可得到關于k、b的方程組，解之即可；
（2）在Rt△AOC中，利用三角函數可求出AC、AO的值，因為CD=OC=

3

，可求出AD=AC-CD=2

3

-

3

=

3

．
要求D的坐標，需過點D作DF⊥OA于點F．
在Rt△AFD中，利用三角函數可求DF=AD•sin∠CAO=

3

2

，AF=AD•cos∠CAO=

3

2

，所以OF=AO-AF=

3

2

，從而點D的坐標是（

3

2

，

3

2

）；
（3）需分情況討論：
第一種情況：若此點在第四象限內，可設其為M₁，延長DF交直線CE于M₁，連接M₁O，則有DM₁∥y軸．
因為OF=

3

2

，所以可設點M₁的坐標為（

3

2

，y₁），利用點M₁在直線CE上，可得y₁的值，即可求出點M₁的坐標是（

3

2

，-

3

2

），所以有DM₁=DF+FM₁=

3

2

+

3

2

=

3

，OC=

3

，所以DM₁=OC．
利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知四邊形CDM₁O為平行四邊形．而點O在y軸上，所以點M₁是符合條件的點．
第二種情況：此點在第二象限內，設為M₂．可過點D作DN∥CE交y軸于N，過N點作NM₂∥CD交直線CE于點M₂，則四邊形M₂NDC為平行四邊形．
利用平行四邊形的對邊分別相等，可知M₂N=CD=

3

，
又因M₂N∥CD，DN∥CE，所以∠NM₂C=∠ACE，∠OCE=∠M₂CN，CN=M₂N．
又因M₂N=CD=

3

，所以CN=

3

．
接著可作M₂H⊥y軸于點H，利用兩直線平行，內錯角相等可得∠M₂NC=∠NCD，∴∠M₂NH=∠OCA=60°．
在Rt△M₂NH中，利用三角函數可求出M₂H，NH的值，利用HO=HN+CN+OC=

5 3

2

可得M₂（-

3

2

，

5 3

2

）．

解答：解：（1）由題意知∠CAO=30°，
∴∠OCE=∠ECD=

1

2

∠OCA=30°，
∴在Rt△COE中，OE=OC•tan∠OCE=

3

×

3

3

=1，
∴點E的坐標是（1，0），
設直線CE的解析式為y=kx+b．
把點C（0，

3

），E（1，0）代入得

b= 3 k+b=0

，
∴

b= 3 k=- 3

，
∴直線CE的解析式為y=-

3

x+

3

．

（2）在Rt△AOC中，AC=

OC

sin∠CAO

=2

3

，
AO=

OC

tan∠CAO

=3，
∵CD=OC=

3

，
∴AD=AC-CD=2

3

-

3

=

3

，
過點D作DF⊥OA于點F，
在Rt△AFD中，DF=AD•sin∠CAO=

3

2

，
AF=AD•cos∠CAO=

3

2

，
∴OF=AO-AF=

3

2

．
∴點D的坐標是（

3

2

，

3

2

）．

（3）存在兩個符合條件的M點，
第一種情況：此點在第四象限內，設為M₁，延長DF交直線CE于M₁，
連接M₁O，M₁O∥AC，
則有DM₁∥y軸，
∵OF=

3

2

，
∴設點M₁的坐標為（

3

2

，y₁），
又∵點M₁在直線CE上，
∴將點M₁的坐標代入y=-

3

x+

3

中，
得y₁=-

3

×

3

2

+

3

=-

3

2

，即FM₁=

3

2

．
∴點M₁的坐標是（

3

2

，-

3

2

），
又∵DM₁=DF+FM₁=

3

2

+

3

2

=

3

，OC=

3

，
∴DM₁=OC，
又∵DM₁∥OC，
∴四邊形CDM₁O為平行四邊形，
又∵點O在y軸上，
∴點M₁是符合條件的點．
第二種情況：此點在第二象限內，設為M₂，
過點D作DN∥CE交y軸于N，過N點作NM₂∥CD交直線CE于點M₂，
則四邊形M₂NDC為平行四邊形，
∴M₂N=CD=

3

，
∵M₂N∥CD，DN∥CE，
∴∠NM₂C=∠ACE，∠OCE=∠M₂CN，
∴CN=M₂N，
∵M₂N=CD=

3

，
∴CN=

3

，
作M₂H⊥y軸于點H，
∵M₂N∥CD，
∴∠M₂NC=∠NCD，
∴∠M₂NH=∠OCA=60°，
在Rt△M₂NH中，
M₂H=M₂N•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
NH=M₂N•cos60°=

3

×

1

2

=

3

2

，
∴HO=HN+CN+OC=

5 3

2

，
∴M₂（-

3

2

，

5 3

2

），
∴點M₂是符合條件的點，
綜上所述，符合條件的兩個點的坐標分別為M₁（

3

2

，-

3

2

），M₂（-

3

2

，

5 3

2

）．

點評：本題的解決需要綜合運用待定系數法、三角函數等知識，另外解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．