Question

如圖所示，△ABC中，AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于點M，N是AB的中點且BN=BC．求證：
（1）MN平分∠AMB；
（2）∠A=∠CBM．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質

專題：

分析：（1）由條件可證明△BMN≌△BMC，可知∠MNB=∠MCB=90°，且N是AB的中點，所以可得△ABM是等腰三角形，可得結論；
（2）由△BMN≌△BMC可得∠NBM=∠CBM，再結合△ABM是等腰三角形，可得∠A=∠NBM，可得結論．∠A=∠CBM

解答：證明：（1）∵MB平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
在△BNM和△BCM中，

BN=BC ∠ABM=∠CBM BM=BM

∴△BNM≌△BCM（SAS），
∴∠MNB=∠C=90，
∴MN⊥AB，
∵N是AB中點，
∴△ABM是等腰三角形，
∴MN平分∠AMB；
（2）∵△BNM≌△BCM（SAS），
∴∠NBM=∠CBM，
∵△ABM是等腰三角形，
∴∠A=∠NBM，
∴∠A=∠CBM．

點評：本題主要考查三角形全等的判定和性質，證明△BNM和△BCM全等是解題的關鍵．