Question

已知AD∥CB，∠DAB和∠ABC的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E的直線交AD于D，交BC于點(diǎn)C，求證：DE=EC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長AE，BC，交于點(diǎn)F，由AD與CB平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯角相等得到關(guān)系式，再由AE，BE分別為角平分線，利用角平分線定義及等式的性質(zhì)得到BE垂直于AF，由內(nèi)錯角相等及等量代換得到∠BAF=∠F，利用等角對等邊得到AB=FB，利用三線合一得到E為AF中點(diǎn)，即AE=FE，再由對頂角相等，利用AAS得到三角形ADE與三角形FCE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證．

解答：證明：延長AE，BC，交于點(diǎn)F，
∵AD∥CB，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DAE=∠F，
∵AE，BE分別平分∠DAB，∠ABC，
∴∠DAE=∠BAE=

1

2

∠DAB，∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC，∠BAF=∠F，
∴∠EAB+∠ABE=90°，AB=BF，
∴∠AEB=90°，BE⊥AF，
∴E為AF中點(diǎn)，即AE=FE，
在△ADE和△FCE中，

∠DAE=∠F AE=FE ∠AED=∠FEC

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴DE=CE．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．