Question

設(shè)S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+…+

1+ 1 20052 + 1 20062

+

1+ 1 20062 + 1 20072

，則與S最接近的整數(shù)是（　�。�

• A、2005
• B、2006
• C、2007
• D、2008

Answer 1

考點：二次根式的化簡求值

專題：規(guī)律型

分析：通過上式找出規(guī)律，得出通項公式

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

再進行化簡，得結(jié)果為1+

1

n(n+1)

，將自然數(shù)n代入求出結(jié)果，再判斷與s最接近的整數(shù)．

解答：解：∵n為任意的正整數(shù)，
∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+(n+1)2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1 [n(n+1)]2

=

(n2+n+1)2 [n(n+1)]2

=

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

，
∴s=（1+

1

1×2

+(1+

1

2×3

)+(1+

1

3×4

)…（1+

1

2006×2007

）
=2006+

1

1×2

+(1+

1

2×3

)+(1+

1

3×4

)…

1

2008×2009

=2006+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2006

-

1

2007

）=2007-

1

2007

．
因此與s最接近的整數(shù)是2007．
故選C．

點評：本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是用裂項法將分數(shù)

1

n(n+1)

化成

1

n

-

1

n+1

，尋找抵消規(guī)律求和．