Question

如圖，矩形ABCD頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（-1，2），B（1，2），C（1，-2），D（-1，-2），點(diǎn)P是邊長(zhǎng)CD上的動(dòng)點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的拋物線y=a（x-h）²+k（a為大于0的常數(shù)）和邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，和y軸交于點(diǎn)H，連接EF和y軸交于點(diǎn)G．．
（1）直接寫(xiě)出k的值，并用a，h表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)CF=4DE時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；
（3）設(shè)DE+FC=t，當(dāng)t的最小值為2時(shí)，求GH的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)CD兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)可直接得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，故可得出k的值；將x=1和x=-1的值代入拋物線表達(dá)式即可得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由（1）中E、F及已知中C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出ED及FC的長(zhǎng)，再由CF=4DE可得出關(guān)于h的方程，求出h的值，進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由DE+FC=t，ED=a（h+1）²，F(xiàn)C=a（h-1）²可用a、h表示出t的值，再由h的取值范圍當(dāng)h=0時(shí)，t的最小值是2a，由的最小值是2可求出a的值，設(shè)直線EF的表達(dá)式是y=mx+n，將點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)代入得直線EF的表達(dá)式即可求出直線EF的表達(dá)式，故可得出HG兩點(diǎn)的坐標(biāo)，故可得出GH的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵C（1，-2），D（-1，-2），
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∴k=-2，
將x=1和x=-1的值代入拋物線表達(dá)式得：
E（-1，a（h+1）²-2），F(xiàn)（1，a（h-1）²-2）；

（2）∵C（1，-2），D（-1，-2），
∴ED=a（h+1）²，F(xiàn)C=a（h-1）²，
當(dāng)CF=4DE時(shí)，a（h-1）²=4a（h+1）²，
解方程得：h=，即P（-，-2）；

（3）∵t=DE+FC=2ah²+2a，
∵-1≤h≤1，
∴當(dāng)h=0時(shí)，t的最小值是2a，
而已知t的最小值是2，
∴2a=2，a=1，
設(shè)直線EF的表達(dá)式是y=mx+n，
將點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)代入得直線EF的表達(dá)式是：y=-2hx+h²-1，
∴點(diǎn)H（0，h²-2），G（0，h²-1），
∴GH=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，熟知矩形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．