Question

如圖所示，以Rt△ABC的一條直角邊AB為直徑作⊙O，與AC交于點(diǎn)F，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接EF與BC交于點(diǎn)D，且使得DF=CD．
（1）求證：FE是⊙O的切線；
（2）如果sin∠A=

1

2

，AE=

3

，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OF．根據(jù)DF=CD和OF=OA得到∠C=∠CFD，∠A=∠AFO．根據(jù)Rt△ABC得到∠A+∠C=90°，從而得到∠CFD+∠AFO=90°，從而證明切線；
（2）作FG⊥AE于G．根據(jù)sin∠A=

1

2

，得到∠A=30°，根據(jù)圓周角定理得到∠EOF=60°，則∠OEF=30°，從而得到等腰三角形AEF．根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AG=EG=

3

2

，在直角三角形AFG中，進(jìn)而求得AF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OF．
∵DF=CD，OF=OA
∴∠C=∠CFD，∠A=∠AFO．
又△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠CFD+∠AFO=90°，
∴∠OFE=90°，
∴FE是⊙O的切線；

（2）解：作FG⊥AE于G．
∵sin∠A=

1

2

，
∴∠A=30°，
∴∠EOF=60°，
∴∠OEF=30°，
∴AF=EF，
又FG⊥AE，
∴AG=EG=

3

2

，
∴AF=

AG

cosA

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了切線的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)．連接過(guò)切點(diǎn)的直線是圓中常見(jiàn)的輔助線之一．