Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度也在發(fā)生變化，請(qǐng)寫出線段AB長(zhǎng)度的最小值，并說明理由；
（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，O，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）線段AB長(zhǎng)度的最小值為4，
理由如下：
連接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中點(diǎn)C，
則AB=2OC；
當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，
即AB最短，
此時(shí)AB=4；

（2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q，
如圖①，設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形；
∵∠APO=90°，
∴四邊形APOQ為矩形，
又∵OP=OQ，
∴四邊形APOQ為正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根據(jù)OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）；
如圖②，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形；
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y軸；
設(shè)PQ⊥y軸于點(diǎn)H，
在Rt△OHQ中，根據(jù)OQ=2，∠HQO=45°，
得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）．
∴符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-）或（-，）．
分析：（1）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，連接OP，由于AB是圓的切線，故△OPC是直角三角形，所以當(dāng)OC與OP重合時(shí)，OC最短；
（2）分兩種情況：如圖（1），當(dāng)四邊形APOQ是正方形時(shí)，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-），如圖（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-，）．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)求解．