Question

【題目】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.

（1）觀察猜想

小明發(fā)現(xiàn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖1，他發(fā)現(xiàn)的面積與的面積之間有一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出這個(gè)關(guān)系：______；

（2）類比探究

如圖2，是的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

（3）解決問題

如圖3，，，，，在線段上，交于，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE＝2AM，，理由見解析；（3）

【解析】

（1）結(jié)論：S1＝S2．如圖1中，作EH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于H，CM⊥AD于M，利用三角形的面積公式證明即可；
（2）如圖2中，延長(zhǎng)至點(diǎn)使得，連接，易證，求出，然后證明，得到，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求出即可；
（3）作DT∥AC交AH的延長(zhǎng)線于T．連接DE．證明△BAC≌△DAE（SAS），推出∠ADE＝∠ABC＝45°，BC＝DE＝2，推出∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，推出，再證明AH＝BE即可解決問題．

解：（1）結(jié)論：S1＝S2．

理由：如圖1中，作EH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于H，CM⊥AD于M．

由題意CA＝AE，AD＝AB，∠CAE＝∠DAF＝90°，

∴∠EAH＝∠CAM，

∴sin∠CAM＝sin∠EAH，

∵S1＝ADCM＝ADACsin∠CAM，S2＝ABEH＝ABAEsin∠EAH，

∴S1＝S2．

故答案為S1＝S2；

（2）結(jié)論：BE＝2AM，；

理由：延長(zhǎng)至點(diǎn)使得，連接，

易證，

∴且，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

在中，，

∴，

∴；

（3）作DT∥AC交AH的延長(zhǎng)線于T，連接DE．

∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠BAC＝∠DAE，

∴△BAC≌△DAE（SAS），

∴∠ADE＝∠ABC＝45°，BC＝DE＝2，

∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，

∴BE＝，

∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠CAD＋∠BAE＝180°，

∵AC∥DT，

∴∠CAD＋∠ADT＝180°，

∴∠BAE＝∠ADT，

∵AH⊥BE，

∴∠DAT＋∠BAT＝90°，∠ABE＋∠BAT＝90°，

∴∠DAT＝∠ABE，

∵AB＝AD，

∴△ABE≌△DAT（ASA），

∴BE＝AT，AE＝DT，

∵AC＝AE，

∴AC＝DT，

∵∠CAH＝∠T，∠AHC＝∠DHT，

∴△AHC≌△THD（AAS），

∴AH＝HT，

∴AH＝BE＝．