Question

如圖所示，已知點A在第一象限內(nèi)，點B和點C在x軸上，且關(guān)于原點O對稱，AO=AB．如果關(guān)于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有實數(shù)根，△ABO的面積為2，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．
（1）求BO的長；
（2）求反比例函數(shù)的解析式；
（3）如果P是這個反比例函數(shù)圖象上的一點，且∠BPC=90°，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有實數(shù)根，
∴△=（BO+4）²-4（BO²-BO+7）≥0．
∴-3（BO-2）²≥0．∴（BO-2）²≤0．
又∵（BO-2）²≥0，∴（BO-2）²=0．
∴BO=2．

（2）設(shè)A（x，y），其中y＞0．
∵S_△ABO=2，∴．∴y=2．
又∵AO=AB，即點A在OB中垂線上，∴x=1．
∴A（1，2）．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為．代入A（1，2），得k=2．
∴所求反比例函數(shù)的解析式為．

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，）．
∵點C、B關(guān)于原點O對稱，B（2，0），∴C（-2，0）．
∴BC=4．
當(dāng)∠BPC=90°時，BC²=BP²+PC²，
即．
化簡整理，得．
∴．
∴．整理，得x²=2．
解得．
經(jīng)檢驗：都是原方程的根．
∴點P的坐標(biāo)為（）或（）．
分析：（1）要求BO的長，需要根據(jù)關(guān)于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有實數(shù)根有實根的情況，利用跟的判別式就可以求出．
（2）若設(shè)y=，因為AO=AB，△ABO的面積為2，所以k的絕對值為2，根據(jù)圖象位置可求k值；
（3）若設(shè)P（m，2m），則容易寫出直線PB，PC解析式，從而求出m與系數(shù)關(guān)系，再根據(jù)系數(shù)之積為-1可求m值，既而寫出P的坐標(biāo)．
點評：此題難度中等，考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．一元二次方程根的判別式的運用，同時同學(xué)們要掌握解方程（組）的方法．