Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點D、E．
（1）若拋物線經(jīng)過C、D兩點，求此拋物線的解析式并判斷點B是否在此拋物線上．
（2）若在（1）中的拋物線的對稱軸有一點P，使得△PBD的周長最短，求點P的坐標．
（3）若點M為（1）中拋物線上一點，點N為其對稱軸上一點，是否存在以點B、C、M、N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）據(jù)圓的圓心坐標A（3，0），以及圓的半徑，可求出C點的坐標C（8，0），B點的坐標B（-2，0），然后由勾股定理，求出D點的坐標（0，-4），將C，D坐標代入拋物線的解析式中，即可求得拋物線的解析式．將B點代入，即可判斷是否在拋物線上．
（2）要使△PBD的周長最短，由于邊BD是定值，只需PB+PD最小即可；
（3）此題要分兩種情況討論：①以BC角線的平行四邊形，此時MD∥x軸，則M、D的縱坐標相同，由此可求得M點的坐標；
②以BC的平行四邊，由于平行四邊形是中心對稱圖形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N縱坐標的絕對值相等
解答：解：（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
將C、D兩點代入得：，
解得，
∴拋物線的解析式為
∵，
∴點B在這條拋物線上．

（2）要使△PBD的周長最短，由于邊BD是定值，只需PB+PD最小，
∵點B、C關(guān)于對稱軸x=3對稱，
∴直線CD與對稱軸x=3的交點就是所求的點P．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+m．將C、D兩點代入，得，
解得，
∴直線CD的解析式為當x=3時，，
∴點P的坐標為（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7，），N（3，）或M（13，），N（3，）或M（3，-），N（3，）
點評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，需注意的是（3）題在不確定平行四邊形邊和對角線的情況下需要分類討論，以免漏解．