【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3過A(1,0),B(﹣3,0),直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標為﹣2,點P(m,n)是線段AD上的動點.
(1)求直線AD及拋物線的解析式;
(2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關系式,m為何值時,PQ最長?
(3)在平面內是否存在整點(橫、縱坐標都為整數(shù))R,使得P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點R的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)當m=-時,PQ最長,最大值為;(3)R1(﹣2,﹣2),R2(﹣2,﹣4),R3(﹣2,﹣1),R4(﹣2,﹣5),R5(0,﹣3).
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得拋物線的解析式;根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系,可得D點坐標,再根據(jù)待定系數(shù)法,可得直線的解析式;
(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質,可得答案;
(3)根據(jù)PQ的長是正整數(shù),可得PQ,根據(jù)平行四邊形的性質,對邊平行且相等,可得DR的長,根據(jù)點的坐標表示方法,可得答案
解:(1)將A(1,0),B(﹣3,0)代入y=ax2+bx﹣3得:
解得:
∴拋物線的解析式為:y=x2+2x﹣3,
當x=﹣2時,y=(﹣2)2﹣4﹣3=﹣3,
∴D(﹣2,﹣3),
設直線AD的解析式為y=kx+b,將A(1,0),D(﹣2,﹣3)代入得:
解得:
∴直線AD的解析式為y=x﹣1;
因此直線AD的解析式為y=x﹣1,拋物線的解析式為:y=x2+2x﹣3.
(2)∵點P在直線AD上,Q拋物線上,P(m,n),
∴n=m﹣1 Q(m,m2+2m﹣3)
∴PQ的長l=(m﹣1)﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣m+2 (﹣2≤m≤1)
∴當m= 時,PQ的長l最大=﹣( )2﹣()+2= .
答:線段PQ的長度l與m的關系式為:l=﹣m2﹣m+2 (﹣2≤m≤1)
當m=時,PQ最長,最大值為.
(3)①若PQ為平行四邊形的一邊,則R一定在直線x=﹣2上,如圖:
∵PQ的長為0<PQ≤的整數(shù),
∴PQ=1或PQ=2,
當PQ=1時,則DR=1,此時,在點D上方有R1(﹣2,﹣2),在點D下方有R2(﹣2,﹣4);
當PQ=2時,則DR=2,此時,在點D上方有R3(﹣2,﹣1),在點D下方有R4(﹣2,﹣5);
②若PQ為平行四邊形的一條對角線,則PQ與DR互相平分,此時R與點C重合,即R5(0,﹣3)
綜上所述,符合條件的點R有:R1(﹣2,﹣2),R2(﹣2,﹣4),R3(﹣2,﹣1),R4(﹣2,﹣5),R5(0,﹣3).
答:符合條件的點R共有5個,即:R1(﹣2,﹣2),R2(﹣2,﹣4),R3(﹣2,﹣1),R4(﹣2,﹣5),R5(0,﹣3).
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【題目】數(shù)學老師布置了一道思考題“計算:(-)÷()”,小明仔細思考了一番,用了一種不同的方法解決了這個問題.
小明的解法:原式的倒數(shù)為()÷()=()×(-12)=-4+10=6,所以(-)÷()=.
(1)請你判斷小明的解答是否正確,并說明理由.
(2)請你運用小明的解法解答下面的問題.
計算:(-)÷(+).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)一個兩位正整數(shù),a表示十位上的數(shù)字,b表示個位上的數(shù)字(a≠b,ab≠0),則這個兩位數(shù)用多項式表示為 (含a、b的式子);若把十位、個位上的數(shù)字互換位置得到一個新兩位數(shù),則這兩個兩位數(shù)的和一定能被 整除,這兩個兩位數(shù)的差一定能被 整除.
(2)一個三位正整數(shù)F,各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0.若從它的百位、十位、個位上的數(shù)字中任意選擇兩個數(shù)字組成6個不同的兩位數(shù).若這6個兩位數(shù)的和等于這個三位數(shù)本身,則稱這樣的三位數(shù)F為“友好數(shù)”,例如:132是“友好數(shù)”.
一個三位正整數(shù)P,各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0,若它的十位數(shù)字等于百位數(shù)字與個位數(shù)字的和,則稱這樣的三位數(shù)P為“和平數(shù)”;
①直接判斷123是不是“友好數(shù)”?
②直接寫出共有 個“和平數(shù)”;
③通過列方程的方法求出既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù).
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【題目】如圖,已知PA=PB=PC=2,∠BPC=120°,PA∥BC.以AB、PB為邊作平行四邊形ABPD,連接CD,則CD的長為( 。
A. 2B. 2C. +1D. ﹣1
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【題目】某超市銷售一種成本為40元千克的商品,若按50元千克銷售,一個月可售出500千克,現(xiàn)打算漲價銷售,據(jù)市場調查,漲價x元時,月銷售量為m千克,m是x的一次函數(shù),部分數(shù)據(jù)如下表:
觀察表中數(shù)據(jù),直接寫出m與x的函數(shù)關系式:_______________:當漲價5元時,計算可得月銷售利潤是___________元;
當售價定多少元時,會獲得月銷售最大利潤,求出最大利潤.
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【題目】為進一步推廣“陽光體育”大課間活動,高新中學對已開設的A實心球,B立定跳遠,C跑步,D排球四種活動項目的學生喜歡情況進行調查,隨機抽取了部分學生,并將調查結果繪制成圖1,圖2的統(tǒng)計圖,請結合圖中的信息解答下列問題:
(1)請計算本次調查中喜歡“跑步”的學生人數(shù)和所占百分比,并將兩個統(tǒng)計圖補充完整;
(2)隨機抽取了3名喜歡“跑步”的學生,其中有2名男生,1名女生,現(xiàn)從這3名學生中任意抽取2名學生,請用畫樹狀圖或列表的方法,求出剛好抽到一男生一女生的概率.
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【題目】對于一次函數(shù)y=-2x+4,下列結論錯誤的是( )
A. 函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是
B. 函數(shù)值隨自變量的增大而減小
C. 函數(shù)的圖象不經過第三象限
D. 函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度得的圖象
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【題目】出租車司機小李某天上午營運時是在東西走向的大街上進行的,如果規(guī)定向東為正,向西為負,他這天上午所接六位乘客的行車里程(單位:)如下:
,,,,,,
問:(1)將最后一位乘客送到目的地時,小李在什么位置?
(2)若汽車耗油量為(升/千米),這天上午小李接送乘客,出租車共耗油多少升?
(3)若出租車起步價為8元,起步里程為(包括),超過部分每千米1.2元,問小李這天上午共得車費多少元?
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