Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿著B→A的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→C的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，t的值為（　�。�

• A、

  4

  3

• B、3-

  3

• C、

  4

  3

  或3-

  3

• D、

  4

  3

  或3-

  3

  或

  3

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：分類討論

分析：應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，△APQ為直角三角形，根據(jù)△APQ∽△ABC，可將時(shí)間t求出；當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△APQ為直角三角形，根據(jù)△APQ∽△ACB，可將時(shí)間t求出．

解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，BC=2cm，∠ABC=60°．
∴∠A=30°，則AB=2BC=4cm，
根據(jù)勾股定理得到AC=

42-22

=2

3

∵BP=2tcm，AQ=t
∴AP=AB-BP=（4-2t）cm，
∵當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，
∴0＜t≤2．
分兩種情況考慮：①當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

2 3

=

4-2t

4

，
解得：t=3-

3

；
②如圖2，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△APQ∽△ACB，則

AP

AC

=

AQ

AB

，
即

4-2t

2 3

=

t

4

，
解得：t=

32-8 3

13

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．在求時(shí)間t時(shí)應(yīng)分情況進(jìn)行討論，防止漏解．