Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MC⊥x軸于C，MD⊥y軸于D，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用a的代數(shù)式表示四邊形OCMD的周長(zhǎng)；
（2）在（1）的條件下，求四邊形OCMD面積的最大值；
（3）以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由MC⊥x軸于C，MD⊥y軸于D，易得四邊形OCMD是矩形，又由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即可求得MC的值，則可求得四邊形OCMD的周長(zhǎng)；
（2）由MD=a，MC=-

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4

a+6，即可得四邊形OCMD面積為：-

3

4

（a-4）²+12，則可求得四邊形OCMD面積的最大值；
（3）由以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切，可得AM=MD+AC，則可得AC=8-a，AM=8，又由勾股定理，即可得方程：8²=（8-a）²+（-

3

4

a+6）²，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵M(jìn)C⊥x軸，MD⊥y軸，
∴四邊形OCMD是矩形，
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴y=-

3

4

a+6，
∴MD=OC=a，MC=OD=-

3

4

a+6，
∴四邊形OCMD的周長(zhǎng)為：MD+OC+MC+OD=2[a+（-

3

4

a+6）]=

1

2

a+12；

（2）∵S_{四邊形OCMD}=MD•MC=a×（-

3

4

a+6）=-

3

4

a²+6a=-

3

4

（a²-8a）=-

3

4

（a-4）²+12，
∴當(dāng)a=4時(shí)，S_{四邊形OCMD}最大，最大值為12，
即四邊形OCMD面積的最大值為12；

（3）∵以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切，
∴AM=MD+AC，
∵直線y=-

3

4

x+6交x軸于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（8，0），
∴OA=8，
∵M(jìn)D=OC=a，
∴AC=8-a，
∴AM=a+8-a=8，
在Rt△ACM中，AM²=AC²+MC²，
即8²=（8-a）²+（-

3

4

a+6）²，
∴25a²-400a+576=0，
∴（5a-72）（5a-8）=0，
解得：a=

72

5

＞8（舍去），a=

8

5

，
∴a的值為：

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、點(diǎn)與一次函數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的最值問(wèn)題、圓與圓的位置關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．