Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在原點，邊AC在x軸的正半軸，AC=16，∠BAC=60°，AB=10，⊙P分別與邊AB、AC相切于D、E（切點D、E不在邊AB、AC的端點），ED的延長線與CB的延長線相交于點F．
（1）求BC邊的長和△ABC的面積；
（2）設(shè)AE=x，DF=y，寫出y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探索△ADC與△DBF能否相似？若能相似，請求出x的值，同時判斷此時⊙P與邊BC的位置關(guān)系，并證明之；若不能相似，請說明理由；
（4）當⊙P與△ABC內(nèi)切時，⊙P與邊BC相切于G點，請寫出切點D、E、G的坐標（不必寫出計算過程）．

Answer 1

分析：（1）過B作BG⊥x軸，垂足為G，解Rt△ABG，得BG，AG，再求CG，在Rt△CBG中，運用勾股定理求BC；
（2）由∠BAC=60°，AD，AE為圓的切線可知，△ADE為等邊三角形，可設(shè)AE=AD=DE=x，DB=10-x，CE=16-x，過E作EH∥AB交BC于H，在△ABC中，由EH∥AB，利用相似比求EH，在△FEH中，由EH∥DB，利用相似比求x、y的關(guān)系；
（3）過P作PQ⊥BC，垂足為Q，連接PA、PB、PC，先假如△ADC與△DBF相似，利用相似比求x的值，再求圓的半徑；
（4）當⊙P與△ABC內(nèi)切時，連接AP，由內(nèi)切圓半徑r=

2S

AB+BC+AC

求r，在Rt△APE中，解直角三角形求AE，由△ADE為等邊三角形，可求D點坐標，由CG=CE，利用相似比求G點坐標．

解答：解：（1）過B作BG⊥x軸，垂足為G，
在Rt△ABG中∠BAC=60°，AB=10，得到AG=5，
由勾股定理可得BG=5

3

，由于AC=16，可得GC=11，在Rt△BGC中由勾股定理可得BC=14，
（或B（5，5

3

）、C（16，0）由距離公式得BC=14）（1分）
∴S_△ABC=

1

2

AC•BG=40

3

（1分）

（2）在△ABC中，∵⊙P分別與邊AB、AC相切于D、E，∴AE=AD，
又∠BAC=60°，可設(shè)AE=AD=DE=x，DB=10-x，CE=16-x（1分）
過E作EH∥AB交BC于H，在△ABC中，∵EH∥AB
∴

EH

AB

=

CE

CA

即

EH

10

=

16-x

16

，得EH=

5

8

(16-x)（1分）
在△FEH中，∵EH∥DB∴

FD

FE

=

DB

EH

即

y

x+y

=

10-x

5 8 (16-x)

（1分）
整理得y=-

8

3

x+

80

3

（0＜x＜10）（2分）

（3）假如△ADC與△DBF相似，∵∠DBF＞∠DCA，又∠DAC=∠BDF=60°
∴只能∠DBF與∠ADC，∠BFD與∠ACD是對應(yīng)角（1分）
∴

AD

BD

=

AC

DF

，

x

10-x

=

16

y

，解得x₁=10（舍去），x₂=6（1分）
當x=6時，⊙P與邊BC相切．
證明：當x=6時，求得⊙P的半徑r=2

3

，
過P作PQ⊥BC，垂足為Q，連接PA、PB、PC，有S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC
即40

3

=

1

2

•10•2

3

+

1

2

•16•2

3

+

1

2

•14•PQ，解得，PQ=2

3

=r
∴⊙P與邊BC相切．（2分）

（4）D（3，3

3

），E（6，0），G（

57

7

，

25 3

7

）．（3分）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及切線的性質(zhì)的運用．關(guān)鍵是根據(jù)圖形作平行線，構(gòu)造相似三角形求解．