Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（4，5）兩點，請解答下列問題；
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E，連接AD，點F為AD的中點，求出線段EF的長；
（3）若點P是拋物線上異于A、C的另外一點，且S_△AEP=S_△AED，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（4，5）兩點，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）先配方得到點D（1，-4），依此可得AE=2，ED=4，根據(jù)勾股定理可求AD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求線段EF的長；
（3）當點P的縱坐標是4時，S_△AEP=S_△AED，依此可得方程求出點P的縱坐標，從而求解．

解答：解：（1）將A（-1，0），B（4，5）代入y=x²+bx+c得，

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得：

b=-2 c=-3

．
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以點D（1，-4），
所以AE=2，ED=4，AD=

AE2+ED2

=2

5

因為F是AD的中點，
所以EF=

1

2

AD=

5

；

（3）當點P的縱坐標是4時，S_△AEP=S_△AED，
則（x-1）²-4=4，
解得x=1±2

2

．
所以點P的坐標是（1+

2

，4）或（1-

2

，4）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，配方法，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．