【題目】如圖,已知拋物線y=(x﹣1)2+k的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B.
(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P使S△PAC=S△ABC?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ABQ是等腰三角形,若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3,點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,﹣3);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)把A(-1,0)代入拋物線y=(x﹣1)2+k,求出k即可解決問(wèn)題.(2)存在.先求出△ABC的面積,再根據(jù)已知條件求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.(3)存在.分三種情形討①當(dāng)AQ=AB時(shí),有兩種情形a、當(dāng)在x軸上方,;b、當(dāng)
在x軸下方時(shí),利用勾股定理即可解決問(wèn)題.②當(dāng)BA=BQ時(shí),此時(shí)Q在x軸上,即
(1,0)③當(dāng)QA=QB時(shí),點(diǎn)Q在AB的垂直平分線上,求出線段AB的垂直平分線的解析式即可解決問(wèn)題.
(1)把A(﹣1,0)代入拋物線y=(x﹣1)2+k得,0=4+k,
∴k=﹣4,
∴拋物線解析式為y=(x﹣1)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣3,
令x=0,得y=﹣3,
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,﹣3).
(2)存在.如圖1中,
理由:令y=0,則x2﹣2x﹣3=0,
∴x=﹣1或3,
∴點(diǎn)A(﹣1,0),C(3,0),
∴S△ABC=×4×3=6,
∵S△PAC=S△ABC,
∴S△PAC=,設(shè)P(m,n),
則有×4×|n|=
,
∴n=,
當(dāng)n=時(shí),m2﹣2m﹣3=
,解得m=﹣
或
,此時(shí)P(﹣
,
)或(
,
),
當(dāng)n=﹣時(shí),m2﹣2m﹣3=﹣
,解得m=
或
,此時(shí)P(
,﹣
)或(
,﹣
).
綜上所述,滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,
)或(
,
)或(
,﹣
)或(
,﹣
).
(3)如圖2中,存在.
①當(dāng)AQ=AB時(shí),有兩種情形a、當(dāng)Q1在x軸上方,此時(shí)Q1(1,);b、當(dāng)Q2在x軸下方時(shí),此時(shí)Q2(1,﹣
).
②當(dāng)BA=BQ時(shí),此時(shí)Q在x軸上,Q3(1,0).
③當(dāng)QA=QB時(shí),點(diǎn)Q在AB的垂直平分線上,
∵A(﹣1,0),B(0,﹣3),
∴直線AB解析式為y=﹣3x﹣3,線段AB的中點(diǎn)為(﹣,﹣
),
設(shè)線段AB的中垂線的解析式為y=x+m.
∴﹣=﹣
+m,
∴m=﹣,
∴線段AB的中垂線的解析式為y=x﹣
,與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)Q4(1,﹣1),
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,)或(1,﹣
)或(1,0)或(1,﹣1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了某校七年級(jí)學(xué)生對(duì)《最強(qiáng)大腦》、
《朗讀者》、
《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》、
《極限挑戰(zhàn)》四個(gè)電視節(jié)目的喜愛(ài)情況,隨機(jī)抽取了
位學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)(要求每位學(xué)生選出并且只能選一個(gè)自己最喜愛(ài)的節(jié)目),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(圖1,圖2)
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)______,
______.
(2)在圖1中,喜愛(ài)《朗讀者》節(jié)目所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______度;
(3)請(qǐng)根據(jù)以上信息直接在答題卡中補(bǔ)全圖2的條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)已知該校七年級(jí)共有420位學(xué)生,那么他們最喜歡《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》這個(gè)節(jié)目的學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M.
(1)求此拋物線的解析式和對(duì)稱(chēng)軸;
(2)在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)連接AC,在直線AC下方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)N,使△NAC的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10,一腰上的高為6,則以底邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)自然數(shù)的立方,可以分裂成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,例如:,
和
分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個(gè),3個(gè)和4個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,即
,
,…,若
也按照此規(guī)律來(lái)進(jìn)行“分裂”,則
“分裂”出的奇數(shù)中,最大的奇數(shù)是( )
A.39B.41C.43D.45
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證:AC=AE;
(2)若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),CD=4,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 四邊形OABC為直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4). 點(diǎn)從
出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向
運(yùn)動(dòng);點(diǎn)
從
同時(shí)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向
運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)
作
垂直
軸于點(diǎn)
,連結(jié)AC交NP于Q,連結(jié)MQ.
【1】點(diǎn) (填M或N)能到達(dá)終點(diǎn);
【1】求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍,當(dāng)t為何值時(shí),S的值最大;
【1】是否存在點(diǎn)M,使得△AQM為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,
說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=上,點(diǎn)B在雙曲線y=
(k≠0)上,AB∥x軸,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D.連接OB,與AD相交于點(diǎn)C,若AC=2CD,則k的值為( )
A. 6 B. 9 C. 10 D. 12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)閱讀理解:
如圖①,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問(wèn)題可以用如下方法:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.中線AD的取值范圍是___________;
(2)問(wèn)題解決: 如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CF>EF;
(3)問(wèn)題拓展:如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,以C為頂點(diǎn)作∠ECF,使得角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點(diǎn),連接EF,且EF=BE+DF,試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
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