Question

（14分）已知拋物線經(jīng)過A(3，0), B(4，1)兩點，且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及點C的坐標；
（2）如圖（1）,連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2）,連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

解：（1）（3分）將A(3,0),B(4,1)代人
得
∴
∴
∴C(0,3)
(2)(7分)假設(shè)存在，分兩種情況，如圖.
①連接AC,
∵OA="OC=3," ∴∠OAC=∠OCA=45^O. ……1分
過B作BD⊥軸于D，則有BD=1，
,
∴BD="AD," ∴∠DAB=∠DBA=45^O.
∴∠BAC=180^O-45^O-45^O=90^O……………2分
∴△ABC是直角三角形. ∴C(0,3)符合條件.
∴P₁(0,3)為所求.
②當(dāng)∠ABP=90^O時,過B作BP∥AC,BP交拋物線于點P.
∵A(3,0),C(0,3)
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為
將直線AC向上平移2個單位與直線BP重合.
則直線BP的函數(shù)關(guān)系式為
由,得
又B(4,1), ∴P₂(-1,6).
綜上所述,存在兩點P₁(0,3), P₂(-1,6).
另解②當(dāng)∠ABP=90^O時, 過B作BP∥AC,BP交拋物線于點P.
∵A(3,0),C(0,3)
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為
將直線AC向上平移2個單位與直線BP重合.
則直線BP的函數(shù)關(guān)系式為
∵點P在直線上，又在上.
∴設(shè)點P為
∴
解得
∴P₁(-1,6), P₂(4,1)(舍)
綜上所述,存在兩點P₁(0,3), P₂(-1,6).
(3)(4分) ∵∠OAE=∠OAF=45^O,而∠OEF=∠OAF=45^O,
∠OFE=∠OAE=45^O,
∴∠OEF=∠OFE=45^O,
∴OE="OF," ∠EOF=90^O
∵點E在線段AC上,
∴設(shè)E
∴
=
∴
=
=
=
∴當(dāng)時, 取最小值,
此時,
∴解析:
略