Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出A、B、C、D的坐標(biāo)：A

（1，0）

，B

（3，0）

，C

（0，3）

，D

（2，-1）

；
（2）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，然后過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)F，然后求出AE、AF的長(zhǎng)度以及CE的長(zhǎng)度，可以證明△AEC與△AFP相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出PF的長(zhǎng)度，再分點(diǎn)P在x軸的上方與下方兩種情況寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）方法一：找出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)軸對(duì)稱性可知∠OCA′=∠OCA，然后利用勾股定理求出A′D、A′C、CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理逆定理證明△A′DC是等腰直角三角形，從而得解；
方法二：連接BD，根據(jù)點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)可得∠CBD=90°，然后求出△CBD與△COA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BCD=∠OCA，從而得解．

解答：解：（1）令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（3，0），
令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，3），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)為D（2，-1）；

（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=

32+32

=3

2

，
如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥BC，
∵∠APD=∠ACB，∠AEC=∠AFP=90°，
∴△AEC∽△AFP，
∴

AE

AF

=

CE

PF

，
又∵A（1，0），B（3，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
∴AF=

1

2

AB=1，
AE=BE=

2

，
CE=BC-BE=3

2

-

2

=2

2

，
∴

2

1

=

2 2

PF

，
解得PF=2，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）；

（3）方法一：如圖，作點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-1，0），
∴∠OCA′=∠OCA，
∴A′C=

12+32

=

10

，
A′D=

12+32

=

10

，
CD=

(1+3)2+22

=

20

，
∴A′C²+A′D²=CD²，
∴△A'DC是等腰直角三角形，
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA′+∠OCD=45°；
方法二：如圖，連接BD，∵B（3，0），C（0，3），D（2，-1），
∴∠CBO=∠OBD=45°，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠COA，
又∵

BC

OC

=

3 2

3

=

2

，

BD

OA

=

2

1

=

2

，
∴

BC

OC

=

BD

OA

，
∴△CBD∽△COA，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，以及二次函數(shù)的對(duì)稱性，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大．