【題目】(本題滿分12如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將拋物線的對(duì)稱軸繞著點(diǎn)P,2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于AB兩點(diǎn),點(diǎn)Q是該拋物線上的一點(diǎn).

1求直線AB的函數(shù)表達(dá)式;

2如圖,若點(diǎn)Q在直線AB的下方,求點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值;

3如圖,若點(diǎn)Qy軸左側(cè),且點(diǎn)T0tt<2是直線PO上一點(diǎn),當(dāng)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與PAT相似時(shí),求所有滿足條件的t的值.

【答案】1y=x+2;

(2當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大,最大距離為

3t=1或t=0或t=1-或t=3-.

【解析】

試題分析:(1根據(jù)題意求出直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求解;(2過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線QC,交AB于點(diǎn)C,再過(guò)點(diǎn)Q作直線AB的垂線,垂足為D,設(shè)Qm,m2,則Cm,m+2,用m表示出QC的長(zhǎng),再根據(jù)QC與QD的關(guān)系,構(gòu)造QD與m的二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的的性質(zhì)即可求得點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值;(3由題意可知APT=45°,PBQ中必有一個(gè)內(nèi)角等于45°,由圖知BPQ=45°不合題意.分兩種情況,PBQ=45°,可得BQx軸,可證得BPQ為等腰直角三角形,若PAT與BPQ相似,則PAT也是等腰直角三角形,在分PAT為直角或PAT為直角兩種情況求t值;PQB=45°,中是情況之一,答案同上;現(xiàn)以點(diǎn)F為圓心,F(xiàn)B為半徑作圓,則P、B、Q1都在F上,設(shè)F與y軸左側(cè)的拋物線交于另一點(diǎn)Q2,根據(jù)圓周角定理可得PQ2B=PQ1B=45°,利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似,也分兩種情況iQ2PB∽△PAT,(iiQ2BP∽△PAT,根據(jù)三角形相似,利用相似的性質(zhì)求t值.

試題解析:解:(1設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為M,OPA=45°,

OM=OP=2,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0.

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b,將M(-2,0P(,2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,

,解得,故直線AB的函數(shù)解析式為y=x+2.

過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線QC,交AB于點(diǎn)C,再過(guò)點(diǎn)Q作直線AB的垂線,垂足為D,

根據(jù)條件可知QDC為等腰直角三角形.

所以QD=,

設(shè)Qm,m2,則Cm,m+2,

QC=m+2-m2=

QD==.

故當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大,最大距離為.

APT=45°,PBQ中必有一個(gè)內(nèi)角等于45°,由圖知BPQ=45°不合題意.

PBQ=45°,過(guò)點(diǎn)B作x的平行線,與拋物線和y軸分別交于點(diǎn)Q、F,此時(shí)滿足PBQ1=45°.

Q1-2,4、F0,4,此時(shí)BPQ1為等腰直角三角形,由題意可知PAT也為等腰直角三角形.

i當(dāng)PAT為直角時(shí),得PT=AT=1,此時(shí)t=1;

(ii當(dāng)PAT為直角時(shí),得PT=2,此時(shí)t=0.

PQB=45°,中是情況之一,答案同上;

現(xiàn)以點(diǎn)F為圓心,F(xiàn)B為半徑作圓,則P、B、Q1都在F上,設(shè)F與y軸左側(cè)的拋物線交于另一點(diǎn)Q2,

∵∠PQ2B=PQ1B所對(duì)的弧相同,

PQ2B=PQ1B=45°.

即這里的交點(diǎn)Q2也符合要求.

設(shè)Q2(n,n2(-2<n<0,由FQ2=2,得,

,解得

而-2<n<0,故n=,即Q2,3.

可證PFQ2為等邊三角形,所以PFQ2=60°,又弧PQ2=弧PQ2

所以PBQ2=PFQ2=30°,則在PQ2B中,PQ2B=45°PBQ2=30°.

iQ2PB∽△PAT,則過(guò)點(diǎn)A作y軸垂線,垂足為E.

則ET=AE=,OE=1,OT=-1,解得t=1-.

(iiQ2BP∽△PAT,則過(guò)點(diǎn)T作直線AB的垂線,垂足為G.

設(shè)TG=a,則PG=TG=a,AG=TG=a,AP=

a+a=,解得PT=a=-1

OT=OP-PT=3-,t=3-.

綜上所述,所求t的值為t=1或t=0或t=1-或t=3-.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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