Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一點，以點O為圓心，OB長為半徑作圓，恰好經(jīng)過點A，并與BC交于點D．
（1）判斷直線CA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB= ，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OA，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∵∠B=30°，

∴∠C=30°，

∴∠AOC=60°，

∴∠OAC=90°，

∴直線CA與⊙O相切；

（2）解：連接AD，過點D作DE⊥AC，過點O作OF⊥AB，

∵AB= ，

∴AD=OA=OB=OD=4，

∵∠DAE=30°，

∴DE=2，

∴△ABC面積12 ，

扇形AOD面積 ，

△ABO面積4 ，

∴陰影面積 ﹣ ．

【解析】（1）連接OA，由AB=AC，則∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，從而得出∠OAC=90°，則直線CA與⊙O相切；（2）連接AD，過點D作DE⊥AC，過點O作OF⊥AB，可求得AD和DE，即可得出△ABC的面積，再減去扇形AOD和△AOB的面積即可．
【考點精析】利用切線的判定定理和扇形面積計算公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．