Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點．點P從點D出發(fā)沿折線DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發(fā)沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC﹣CA于點G．點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點P繞行一周回到點D時停止運動，點Q也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）D、F兩點間的距離是；
（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；
（3）當(dāng)點P運動到折線EF﹣FC上，且點P又恰好落在射線QK上時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）25
（2）解：射線QK能把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分．

如圖，連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，

∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點，

∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，

∴QK過DF的中點O時，即過矩形CDEF的中點，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，

此時QH=OF=12.5．

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，

∴BC=40，

由BF=20，△HBF∽△CBA，可得HB=16．

故t= = =7 ．

（3）解：①當(dāng)點P在EF上（2 ≤t≤5）時，如圖，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得 = ，

即 = ．

∴t=4 ；

②當(dāng)點P在FC上（5≤t≤7 ）時，如圖，已知QB=4t，從而PB= = =5t，

由PF=7t﹣35，BF=20，可得5t=7t﹣35+20．

解得t=7 ．

綜上所述，t的值為4 或7 ．

【解析】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點，
∴DF為△ABC的中位線，
∴DF= AB=25，
即D、F兩點間的距離是25，
所以答案是：25．
【考點精析】關(guān)于本題考查的三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．