Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，AB⊥AC．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若AE=2，求菱形AECD的面積．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=EC=AE，結(jié)合條件可證明四邊形AECD為菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)可得△AEC≌△ADC，結(jié)合條件可證得S_菱形AECD=S_△ABC，且可求得AB=AE=2，由勾股定理可求得AC，可求得△ABC的面積，可求得答案．

解答：（1）證明：∵AB⊥AC，E為BC的中點，
∴BC=2AE=2EC，又BC=2AD，
∴AD=EC，又AD∥BC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，且AE=EC，
∴四邊形AECD為菱形；
（2）解：∵四邊形AECD為菱形，
∴△AEC≌△ADC，
∴S_菱形AECD=2S_△AEC，
又∵E為BC中點，
∴S_△ABC=2S_△AEC，
∴S_菱形AECD=S_△ABC，
∵四邊形AECD為菱形，
∴AE=CD，
又∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，
∴AB=AE=2，且BC=2AE=4，
∴AC=2

3

，
∴S_菱形AECD=S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

點評：本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，③四條邊都相等的四邊形是菱形．